こんにちは。福田泰裕です。
中学の数学と高校の数学での大きな違いは、『場合分け』があるところです。
中学の数学は答えまで一本道であるのに対し、高校の数学は様々な場合を考えて解かなければなりません。
でも実は、場合分けを考えるところに数学の面白さがあるのです。
今回はその場合分けの大切さが分かる問題を例に挙げて、解説していきます。
最後まで読んでいただけると嬉しいです。
目次
おそらく、小学校で「0で割ってはいけません」と習ったと思います。
これは文字式を解くとき最も基本となる場合分けです。
両辺を何かで割るときは、その数が \(0\) でないことを確認しなければいけないのです。
【問1】次の方程式を解け。
$$ 3x = 5$$
このような問題の場合は、両辺を \(3\) で割ると答えがでます。
【問1の答え】
両辺を \(3\) で割って、
$$x = \frac{5}{3}$$
それでは、次の問題はどうでしょう？
【問2】次の \(x\) についての方程式を解け。
$$3x = a$$
さて、\(a\) という文字が出てきました。
しかし、この問題を解くための操作は、両辺を \(3\) で割ることです。
\(a\) がどんな値であっても、\(3\) で割るしかありません。
つまり、場合分けの必要はありません。
【問2の答え】
両辺を \(3\) で割って、
$$x = \frac{a}{3}$$
どんどんいきましょう👇
【問3】次の \(x\) についての方程式を解け。
$$ax=5$$
同じように \(a\) という文字が出てきました。
しかし、今回は【問2】とは少し違います。
何も考えずに、
【問3の間違った解き方】
両辺を \(a\) で割って、
$$x = \frac{5}{a}$$
と書いてしまうとバツ✖です。
この問題を解くための操作は、両辺を \(a\) で割ることです。
両辺を \(a\) で割るためには、\(a\) が \(0\) でないことが条件です。
\(a\) が \(0\) でないならば、両辺を \(a\) で割っても良いのです。
それでは、\(a\) が \(0\) のときはどうなりますか？
\(a=0\) のとき、方程式は
$$0 \cdot x = 5$$
となります。
\(x\) に何を代入しても、
\(0 \cdot \underline{1} = 0\)
\(0 \cdot \underline{100} = 0\)
\(0 \cdot \underline{(-10000)} = 0\)
‥‥‥
左辺は \(0\) のままなので、どうやっても「 \(=5\) 」とはなりません。
つまり \(a=0\) のとき、等式を満たす \(x\) は存在しません。
【問3の答え】
( i ) \(a \neq 0 \) のとき
両辺を \(a\) で割って、
$$x=\frac{5}{a}$$
( ii ) \(a = 0\) のとき
$$0 \cdot x = 5$$
となり、これを満たす実数 \(x\) は存在しない。
( i )( ii ) より、
\begin{cases}
a \neq 0 のとき、x=\displaystyle\frac{5}{a}\\
a = 0 のとき、解なし
\end{cases}
「式の中に \(a\) があるか」ではなく、「両辺を何で割るのか」が大事になってくるわけです。
それでは、次の問題はどうでしょう？
【問4】次の \(x\) についての方程式を解け。
$$ax=0$$
左辺に \(a\) があるから、\(a=0\) と \(a \neq 0\) の場合を考えれば良いんじゃないの？
というのは正しい考えです。
それでは、【問3】との違いは分かりますか？
まず \(a \neq 0\) の場合は、そのまま両辺を \(a\) で割れば問題ないでしょう。
次に、\(a =0\) の場合を考えてみましょう。
このとき、
$$ 0 \cdot x = 0 $$
となります。
\(x\) に適当に値を代入してみると…
\(0 \cdot \underline{1} = 0\)
\(0 \cdot \underline{100} = 0\)
\(0 \cdot \underline{(-10000)} = 0\)
‥‥‥
なんと、\(x\) にどんな実数を代入しても「 \(=0\) 」です！
つまり、\(x\) には何を代入しても良いということなのです！
【問4の答え】
( i ) \(a \neq 0 \) のとき
両辺を \(a\) で割って、
$$x=0$$
( ii ) \(a = 0\) のとき
$$0 \cdot x = 0$$
となり、これはすべての実数 \(x\) に対して成り立つ。
( i )( ii ) より、
\begin{cases}
a \neq 0 のとき、x=\displaystyle\frac{5}{a}\\
a = 0 のとき、すべての実数
\end{cases}
先ほどの【問3】では右辺が「 \(=5\) 」だったため「解なし」となりましたが、右辺が「 \(=0\) 」の場合は答えが「すべての実数」に変わるのですね！
それでは、総まとめの問題です。
【問5】次の \(x\) についての方程式を解け。
$$ax=b$$
文字が2つある！
なんて、驚かないでください！
大事なのは、「両辺を割るとき、\(0\) か、\(0\) でないかを考える」ことです。
右辺に「 \(=b\) 」と付いていますが、まだ気にしなくて大丈夫です。
まず、やりたい操作は「両辺を \(a\) で割る」ことです。
そのため、\(a \neq 0\) ならば、両辺を \(a\) で割って終了です。
次に、\(a=0\) の場合も考えてみましょう。
\(a=0\) のとき、式は
$$ 0 \cdot x = b $$
となります。
ここで初めて、\(b\) について考えなければなりません。
上の式は、\(x\) に何を代入しても左辺は \(0\) のままです。
もし \(b \neq 0\) ならば、絶対にイコールは成り立ちません。
しかし \(b=0\) ならば、絶対にイコールが成り立ちます。
このことに気を付けて、答えを書きましょう。
【問5の答え】
( I ) \(a \neq 0 \) のとき
両辺を \(a\) で割って、
$$x=0$$
( II ) \(a = 0\) のとき
$$0 \cdot x = b$$
( i ) \(b \neq 0\) のとき
$$ 0 \cdot x = b \neq 0$$
となり、これを満たす実数 \(x\) は存在しない。
( ii ) \(b=0\) のとき
$$0 \cdot x = 0$$
となり、これはすべての実数 \(x\) に対して成り立つ。
( I )( II ) より、
\begin{cases}
a \neq 0 のとき、x=\displaystyle\frac{b}{a}\\
a = 0 , b \neq 0 のとき、解なし \\
a = 0 , b = 0 のとき、すべての実数
\end{cases}
\(a \neq 0\) のときは \(b\) について考えなくてよいのに、\( a=0\) のときは \(b\) の値を考えなくてはいけないというのが、少し難しいポイントです。
いかがでしたでしょうか。
ただ \(a\) で割るだけの文字式でも、様々なパターンの場合分けがあります。
これらは丸暗記するものではなく、その都度考えていくものです。
文字式を解くときは勝手に自分の都合の良いように考えず、様々な場合を考える必要があります。
今回の \(0\) で割るかもしれない文字式は、場合分けの基本です。
様々なパターンの問題を解いて、思考力を鍛えましょう！
最後まで読んでいただき、ありがとうございました。
質問やご意見、ご感想などがあればコメント欄にお願いします👇